质点运动学
位矢
\(\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)
位移
\(\Delta\vec{r}=\Delta x\vec{i}+\Delta
y\vec{j}+\Delta z\vec{k}\)
速度
\(\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}\)
速率
\(v=|\vec{v}|=|\frac{d\vec{r}}{dt}|\)
质点动力学
动量
\(\vec{p}=m\vec{v}\)
力
\(\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=m\vec{a}\)
冲量及动量定理
\(\vec{I}=\int_{t_0}^{t} \vec{F}
dt=\Delta\vec{p}=m\vec{v_2}-m\vec{v_1}\)
平均冲力
\(\vec{f}=\frac{\vec{I}}{\Delta
t}\)
动量守恒定律
当\(F_外=0\)时,\(\vec{p}=\Sigma m_i \vec{v_i} = 恒矢量\)
原功
\(dA=\vec{F} \cdot d \vec{r}\)
功率
\(P=\frac{dA}{dt}=\frac{\vec{F} \cdot
d\vec{r}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}\)
质点的动能定理
\(A=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\)
重力势能
\(E_p=mgy\)
引力势能
\(E_p=-G \frac{Mm}{r}=\int_\infty^r
G\frac{Mm}{r^2} dr\)
弹性势能
\(E_p=\frac{1}{2}kx^2=\int_0^xkxdx\)
质点对定点的角动量
\(\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\)
力对定点的力矩
\(\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\)
质点的角动量定理
\(\vec{M}dt=d\vec{L}\)
如\(\vec{M}=0\)质点的角动量守恒
由此
\(如果\vec{M_外}=0，则\vec{L}=恒矢量\)
刚体定轴转动
刚体是在任何外力作用下形状和大小都保持不变的物体
\(\omega=\frac{d\theta}{dt}\)
\(\beta=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2
\theta}{dt^2}\)
\(\omega=\omega _0+\beta t\)
力矩的功
\(A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\vec{M}d\theta\)
转动动能
\(E_k=\frac{1}{2}J\omega ^2\)
常用转动惯量
| 刚体 | 转动惯量 |
|---|---|
| 细杆（中点） | \(\frac{1}{12}ml^2\) |
| 细杆（一端） | \(\frac{1}{3}ml^2\) |
| 圆环 | \(mR^2\) |
| 圆盘 | \(\frac{1}{2}mR^2\) |
| 球体 | \(\frac{2}{5}mR^2\) |
| 质点运动规律 | 刚体定轴转动规律 |
|---|---|
| 角动量\(\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\) | 角动量\(L=J\omega\) |
气体动理论
普适气体常数\(R=8.31J\cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}\)
玻尔兹曼常量\(k=\frac{R}{N_A}=1.38 \times 10^{-23} J \cdot K^{-1}\)
气体分子数密度\(n=\frac{N}{V}\)
理想气体处于平衡态时有
\(PV=\frac{M}{M_{mol}}RT\) 或 \(P=nkT\)
一个分子的平均平动动能
\(\bar{\varepsilon
_t}=\frac{1}{2}m\bar{v^2}\)
m代表分子的质量
理想气体压强的微观公式
\(P=\frac{2}{3}n\bar{\varepsilon
_t}=\frac{1}{3}nm\bar{v^2}\)
温度的微观统计意义
\(\bar{\varepsilon
_t}=\frac{3}{2}kT\)
在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，为\(\frac{1}{2}kT\)。若以\(i\)表示分子热运动的总自由度，则一个分子的平均总动能为
\(\frac{i}{2}kT\)
| 分子类型 | 自由度i |
|---|---|
| 单原子分子 | 3 |
| 刚性双原子分子 | 5 |
| 刚性多原子分子 | 6 |
1mol理想气体的内能为
\(E_{mol}=N_A
\frac{i}{2}kT=\frac{i}{2}RT\)
质量为M的理想气体的内能为
\(E_{mol}=\frac{M}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT\)
电磁学
在真空中的麦克斯韦方程组
| 名称 | 积分形式 |
|---|---|
| 高斯定律 | \(∯_S \vec{E} \cdot d \vec{s}=\frac{Q}{\varepsilon _0}\) |
| 高斯磁定律 | \(∯_S \vec{B} \cdot d \vec{s}=0\) |
| 法拉第电磁感应定律 | \(\oint _L \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\frac{d\phi _B}{dt}\) |
| 麦克斯韦-安培定律 | \(\oint _L \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu _0 I+\mu _0 \varepsilon _0 \frac{d\phi _E}{dt}\) |
毕奥-萨伐尔定律
\(d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\)
毕奥-萨伐尔定律的应用
直导线
\(B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi r_0
}\int_{\theta_1}^{\theta_2}sin\theta d\theta=\frac{\mu_0 I}{4 \pi r_0
}(cos\theta_1-cos\theta_2)\)
无限长时 \(\theta_1 \rightarrow 0, \theta_2
\rightarrow \pi\) 半无限长时 \(\theta_1
\rightarrow \frac{\pi}{2}, \theta_2 \rightarrow \pi\)
圆形载流导线中心轴线
\(B=\frac{N\mu_0IR^2}{2(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\)
圆心处 \(B=\frac{\mu_0I}{2R}\)
\(x\gg R\)时 \(B=\frac{\mu_0IR^2}{2x^3}\)
载流直螺线管
无限长\(B=\mu_0nI\)
端口中心处\(B=\frac{1}{2}\mu_0nI\)
安培定律
\(d\vec{F}=Id\vec{l}\times\vec{B}\)
电流密度
\(\vec{j}=\frac{dI}{dS}\vec{n}\)
载流线圈的磁矩
\(\vec{p_m}=NIS\vec{n}\)
磁力矩
\(\vec{M}= \vec{p_m}\times
\vec{B}\)
动生电动势
\(\varepsilon=\int_-^+\vec{E_k}\cdot
d\vec{l}=\int_a^b(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}\)
高斯定理求场强
带电球面
\(\vec{E}=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0
r^2}\hat{r}\)
无限长均匀带电细棒，线电荷密度为\(\lambda\)
\(E=\frac{\lambda}{2\pi
\varepsilon_0r}\)
无限大均匀带电平面，电荷密度为\(\sigma\)
\(E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
电容
\(C=\frac{q}{U}\)
| 平行板 | \(C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}\) |
| 球形 | \(C=\frac{4\pi\varepsilon_0 R_A R_B}{R_B - R_A}\) |
| 圆柱形 | \(C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln{\frac{R_B}{R_A}}}\) |
简谐运动
振幅为\(A\)，角频率为\(\omega\)，初相为\(\varphi\)
定义式
\(x=A\cos{(\omega t+\varphi)}\)
动力学定义式
受力
\(F=-kx\)
动力学方程（微分方程）
\(\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0\)其中\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
运动学方程
\(x=A\cos{(\omega t + \varphi)}\)
\(v=-\omega A\sin{(\omega t +
\varphi)}\)
\(x=-\omega^2 A\cos{(\omega t +
\varphi)}\)
初始条件决定振幅和初项
\(A=\sqrt{x^2_0+\frac{v_0^2}{\omega^2}},
\varphi=\arctan{(-\frac{v_0}{\omega x_0})}\)
实例（参见动力学方程）
| \(\omega^2\) | |
|---|---|
| 弹簧振子 | \(\frac{k}{m}\) |
| 单摆小幅度震动 | \(\frac{g}{l}\) |
| 复摆 | \(\frac{mgh}{J}\) |
能量
机械能保持不变，反映了震动的强度和振幅的平方成正比
计算方式参见质点动力学
振动合成
\(A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos{(\varphi_2-\varphi_1)}}\)
\(\tan{\varphi}=\frac{A_1 \sin{\varphi_1}+A_2
\sin{\varphi_2}}{A_1 \cos{\varphi_1} + A_2 \cos{\varphi_2}}\)
机械波
波速，又称相速，用\(u\)表示
\(u=\frac{\lambda}{T}=\lambda\nu\)
波函数的一般形式
\(y(x,t)=A\cos{[\omega(t\mp\frac{x}{u})+\varphi]}\)
其他形式
\(y(x,t)=A\cos{(\omega
t\mp\frac{2\pi}{\lambda}x+\varphi)}\)
-表示沿x轴正向传播
振动速度
\(v(x,t)=\frac{\partial y(x,t)}{\partial
t}=-\omega A\sin{[\omega(t\mp\frac{x}{u})+\varphi]}\)
振动加速度
\(a(x,t)=\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial
t^2}=-\omega^2 A\cos{[\omega(t\mp\frac{x}{u})+\varphi]}\)
震动动能\(E_k\)，弹性势能\(E_p\)和总机械能\(E\)同相位变化
\(dE=2dE_k=2dE_p=\rho v^2dV=\rho
dVA^2\omega^2\sin^2[\omega(t\mp\frac{x}{u})+\varphi]\)
能量密度
\(w=\frac{dE}{dV}=\rho
A^2\omega^2\sin^2[\omega(t\mp\frac{x}{u})+\varphi]\)
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值
\(\bar w = \frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\omega
dt=\frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2\)
平均能流：单位时间内垂直通过某一面积的平均能量
\(\bar P=\bar w u \Delta S\)
能流密度：垂直通过单位面积的平均能流
\(I=\frac{\bar P}{\Delta S}=\bar w u\)
能流密度也被称为波的强度
波的干涉
相干条件：频率相同，振动方向平行，相位差恒定
合振动的振幅参见简谐振动的合成
波程差
\(\delta=r_2-r_1\)
相位差
\(\varphi=\varphi_2-\varphi_1-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda}\)
波从波疏介质垂直入射到波密介质，反射波会产生半波损失，即产生了\(\pi\)的相位突变
驻波由两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成
\(y=A\cos 2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda})+A\cos
2\pi(\nu t +\frac{x}{\lambda})=2A\cos (2\pi\frac{x}{\lambda})\cos(2\pi
\nu t)\)
波腹位置（振幅最大）
\(x=\pm k\frac{\lambda}{2}(k\in
\mathbb{Z})\)
波节位置（振幅为零）
\(x=\pm (2k+1)\frac{\lambda}{4}(k\in
\mathbb{Z})\)
波动光学
光程与光程差
\(光程=nr\)
\(光程差=n_1r_1-n_2r_2\)
光程差与相位差的关系
\(\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta\)
光从光疏媒质向光密媒质入射时，反射光会产生半波损失，即产生了\(\pi\)的相位突变
明纹相位差
\(\Delta\varphi=\pm2k\pi\)
光程差
\(\delta=\pm k\lambda\)
暗纹相位差
\(\Delta\varphi=\pm(2k+1)\pi\)
光程差
\(\delta=\pm
(2k+1)\frac{\lambda}{2}\)
杨氏双缝干涉
\(d\)为双缝间距，\(D\)为双缝到接收屏的距离
光程差
\(\delta=nxd/D\)
明纹中心坐标
\(x=\pm2kD\lambda/(2nd)\)
暗纹中心坐标
\(x=\pm(2k+1)D\lambda/(2nd)\)
相邻明（暗）纹间隔
\(\Delta x=D\lambda/(nd)\)
薄膜干涉
光程差
| \(n_1<n_2<n_3或n_1>n_2>n_3\) | \(n_1<n_2>n_3或n_1>n_2<n_3\) | |
|---|---|---|
| 反射光 | \(\delta_r=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{i}}\) | \(\delta_r=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{i}}+\frac{\lambda}{2}\) |
| 透射光 | \(\delta_r=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{i}}+\frac{\lambda}{2}\) | \(\delta_r=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{i}}\) |
劈尖干涉
光垂直照射在劈尖上时，反射光的光程差为
\(\delta_r=2n_2e(n_1<n_2<n_3或n_1>n_2>n_3)\)
\(\delta_r=2n_2e+\frac{\lambda}{2}(n_1<n_2>n_3或n_1>n_2<n_3)\)
相邻明纹（或暗纹）对应薄膜的厚度差
\(\Delta e=\lambda/(2n_2)\)
相邻明纹（或暗纹）的间隔
\(\Delta l=\lambda/(2n_2\theta)\)
牛顿环
明环半径
\(r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}}(k=1,2,3,\dots)\)
暗环半径
\(r=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}(k=0,1,2,\dots)\)
单缝夫琅禾费衍射
明，暗条纹中心位置
\(a\)为单缝的宽度
暗纹
\(a\sin{\theta}=\pm
k\lambda(k=1,2,3,\dots)\)
明纹
\(a\sin{\theta}=\pm
(2k+1)\frac{\lambda}{2}(k=1,2,3,\dots)\)
或\(\delta=a\sin \theta = m\frac{\lambda}{2}(m\ge2)\)，m为偶数得暗纹，m为奇数得明纹
中央条纹宽度
\(\Delta x=2f\frac{\lambda}{a}\)
其他明纹线宽度为两相邻暗纹间距
\(x_{k+1}-x_{k}=\frac{\lambda}{a}f\)
光栅方程
\(\theta\)为衍射角（均取正）；\(\varphi\)为入射角
平行光垂直入射到光栅时，屏幕上主极大条纹的位置为
\((a+b)\sin{\theta}=\pm k\lambda,\quad
k=0,1,2,3,\dots\)
平行光斜入射时，屏幕上主极大条纹的位置为
\((a+b)(\sin{\theta}+\sin{\varphi})=\pm
k\lambda,\quad k=0,1,2,3,\dots\)
缺级条件：在多光束干涉极大的方向上同时满足单缝衍射极小的话，则该方向的主极大就会缺级
\(k=\frac{d}{a}k',\quad
k'=\pm1,\pm2,\pm3,\dots\)
光学仪器的分辨率
圆孔夫琅禾费衍射爱里斑的半径
\(r=\frac{d}{2}=f\tan{\theta}\approx
f\sin{\theta}=1.22\frac{f\lambda}{D}\)
瑞利判据
\(D\)为仪器进光控直径 \(\theta_0=1.22\frac{\lambda}{D}\)
光学仪器的分辨率
\(R=\frac{1}{\theta_{min}}=\frac{0.82D}{\lambda}\)
光的偏振
五种偏振状态：
自然光、线偏振光、部分偏振光、椭圆偏振光、圆偏振光
自然光通过偏振片时，投射光强为原来的二分之一
马吕斯定律
入射光光强为\(I_0\)，透射光光强为\(I\)，线偏振光的振动方向和检偏器的偏振光夹角为\(\alpha\)
\(I=I_0 \cos^2{\alpha}\)
布鲁斯特定律
通常情况下，反射光和折射光不再是自然光，而是部分偏振光，而且在反射光中垂直于入射面的光振动要多于平行振动，而折射光则相反。反射光的偏振化程度与入射角有关，当入射角度等于布儒斯特角时，反射光就成为只有垂直于入射面的线偏振光，且反射光与折射光垂直
\(n_{21}=n_2/n_1\)为介质2对介质1的相对折射率
\(i_0\)为起偏振角或布鲁斯特角
\(\tan{i_0}=n_{21}\)
狭义相对论
洛伦兹变换
\(u\)为S与S'系的相对速度
\(k=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\)
洛伦兹坐标变换
\(x'=\frac{x-ut}{k}\)
\(y'=y\)
\(z'=z\)
\(t'=\frac{t-\frac{u}{c^2}x}{k}\)
洛伦兹坐标逆变换
\(x=\frac{x'+ut'}{k}\)
\(y=y'\)
\(z=z'\)
\(t=\frac{t'+\frac{u}{c^2}x'}{k}\)
洛伦兹速度变换
\(v'_x=\frac{v_x-u}{1-\frac{uv_x}{c^2}}\)
\(v'_y=\frac{v_y
k}{1-\frac{uv_x}{c^2}}\)
\(v'_z=\frac{v_z
k}{1-\frac{uv_x}{c^2}}\)
相对论时空观
时间延缓
\(\tau=\frac{\tau_0}{k}\)
长度收缩
\(l=l_0k\)
狭义相对论动力学
质速关系
\(m=\frac{m_0}{k}\)
动量
\(\vec{p}=m\vec{v}=\frac{m_0\vec{v}}{k}\)
相对论质量与能量
质能关系
\(E=mc^2\)
静止能量
\(E_0=m_0c^2\)
动能
\(E_k=E-E_0\)
静能释放
\(\Delta E_k=\Delta m_0c^2\)
动量与能量关系
\(E^2=(pc)^2+E_0^2\)
量子物理基础
单色辐出度\(M_\lambda(T)\)和辐出度\(M(T)\)的关系
\(M(T)=\int_0^\infty
M_\lambda(T)d\lambda\)
斯特潘-玻尔兹曼定律
\(\sigma\)为斯特潘-玻尔兹曼常量
\(M(T)=\sigma T^4\)
维恩位移定律
\(b\)为维恩常数
黑体辐射能谱峰值对应的波长\(\lambda_m\)与黑体温度\(T\)的关系为
\(\lambda_m T=b\)
康普顿效应
在散射X射线中出了有与入射波长相同的射线外，还有波长比入射波波长更长的射线
在同一散射角下，对于所有的散射物质，波长的该变量都相同
康普顿散射的强度与原子序数成负相关
散射角为\(\varphi\)
\(\lambda-\lambda_0=\frac{2h}{m_0c}\sin^2{\frac{\varphi}{2}}=\frac{h}{m_0c}(1-\cos{\theta})=\lambda_C(1-\cos\theta)\)
光的波粒二象性
能量
\(E=h\nu\)
动量
\(p=\frac{h}{\lambda}\)
质量
\(m=\frac{E}{c^2}=\frac{h\nu}{c^2}\)
光子的静止质量为0
玻尔的氢原子理论
\(R\)为氢原子的里德伯常数
氢原子光谱系的波数可以用统一的公式表示
\(\widetilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2})\)
\(k=1,2,3,\dots\)
\(n=k+1,k+2,k+3,\dots\)
| \(k\) | \(n\) | 线系 |
|---|---|---|
| 1 | 2,3,4,... | 赖曼系 |
| 2 | 3,4,5,... | 巴尔末系 |
| 3 | 4,5,6,... | 帕邢系 |
氢原子的轨道半径和能级
\(r_n=(\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m
e^2}n^2)=n^2r_1\)
\(E_n=-(\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2})\frac{1}{n^2}=-\frac{13.6}{n^2}eV\)
约化普朗克常数
\(\hbar=\frac{h}{2\pi}\)
电子在定态轨道上绕核做圆周运动时，其角动量只能取\(\hbar\)的整数倍，即\(L=n\hbar(n=1,2,3,\dots)\)
德布罗意假设
实物粒子也具有波动性
对于静质量为\(m_0\),速度为\(v\)的实物粒子，其德布罗意波或物质波的波长为
\(\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}=\frac{h}{m_0v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
不确定关系
微观粒子的坐标和动量不能同时被准确地测量
$x p_x h $
对能量和时间的测量也存在类似的关系
$E t h $
波函数
波函数是用来描述微观粒子的运动状态的函数，一般用\(\Psi(\vec{r},t)\)表示
波函数的平方\(|\Psi|^2=\Psi \Psi^*\)表示粒子出现在空间某点附近单位体积元中的概率
波函数必须满足单值、有限和连续三个条件以及归一化条件，即
\(\int|\Psi|^2dV=1\)
一维无限深方势阱
势能函数 \[ U(x)= \begin{cases} 0,0<x<a \\ \infty,x\le0 或x\ge a \end{cases} \]
势阱中粒子的能量
\(E_n=n^2(\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2})(n=1,2,3,\dots)\)
一维无限深方势阱中粒子的波函数为
\(\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x}(0\le
x\le a)\)